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Arithmetic Algebraic Geometry. Proc. conf. Trento, 1991

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Wir haben soeben gesehen, dass die projektiven Transformationen der reellen projektiven Geraden und M¨ obius-Transformationen dasselbe sind. Abschließend sei noch erw¨ ahnt, dass analog zu projektiven Transformationen der projektiven Ebene RP2 projektive Transformationen einer Geraden auf sich durch Bilder von drei Urbildpunkten bestimmt sind. 4. Seien [A], [B], [C] drei paarweise verschiedene Punkte in RP1 und [A′ ], [B ′ ], [C ′ ] ebenso. Dann gibt es eine Matrix M ∈ R2×2 mit [M ·A] = [A′ ], [M · B] = [B ′ ] und [M · C] = [C ′ ].

Wir wollen hier zwei Varianten zeigen, wie man die Punkte der Pappos Konfiguration in sehr symmetrischer Weise auf einen Torus setzen kann. Hierzu denken wir uns das viereckige St¨ uck Papier, aus dem der Torus entstehen soll, als Parallelogramm mit Eckenwinkeln von 60◦ und 120◦. In dieses Parallelogramm zeichnen wir ein Gitter aus gleichseitigen Dreiecken, so dass dabei entlang jeder Kante drei Dreiecksseiten liegen. Die nach oben zeigenden Dreiecke zeichnen wir gelb, die nach unten zeigenden lassen wir weiß (vgl.

So werden z. B. Dachkonstruktionen wie die von Frei Otto5 im Modell meist durch Damenstrumpfhosen realisiert – eine Art zweidimensionales Gummiband! B. das Dach des M¨ unchner Olympiastadions. 28 2 Transformationen ¨ Ubungsaufgaben 1. Gegeben seien die folgenden Vektoren. P1 = (2, −1, 1)T , P2 = (−1, 2, 1)T , P3 = (0, 0, 1)T , P4 = (1, 1, 1)T , P1′ = (1, −1, 1)T , P2′ = (2, 2, 1)T , P3′ = (−1, 1, 1)T , P4′ = (1, 1, 1)T Bestimmen Sie eine projektive Transformation τM mit Matrix M ∈ R3×3 , die f¨ ur i = 1, .

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