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By Hirzebruch F., Mayer K.H.

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Книга the idea Of The Imaginary In Geometry: including The Trigonometry Of. .. the idea Of The Imaginary In Geometry: including The Trigonometry Of The Imaginary Книги Математика Автор: J. L. S. Hatton Год издания: 2007 Формат: djvu Издат. :Kessinger Publishing, LLC Страниц: 220 Размер: 6,1 Mb ISBN: 0548805520 Язык: Английский0 (голосов: zero) Оценка:J.

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X, y, z usw. stets beliebige Elemente des K 2 . Dabei wird vereinbart, dass die Komponenten jeweils mit dem entsprechend indizierten Buchstaben bezeichnet werden, dass also (1) a= a1 a2 , b= b1 b2 , ... , x = x1 x2 , y= y1 y2 , z= z1 z2 geschrieben wird. 0 steht immer für Nullvektor. Unter Weglassung der Indizes schreibt man die Elemente von Mat(2; K) meist in der Form (2) α β γ δ M= mit α, β, γ, δ ∈ K und hat dann Determinante und Spur von M als (3) det M = αδ − βγ , Spur M = α + δ. M t steht für das Transponierte von M.

Ii) a ∨ b c ∨ d und a ∨ d b ∨ c. Beweis. (i) =⇒ (ii): Nach Korollar A ist a ∨ b O ∨ (b − a), also a ∨ b O ∨ (c − d) und daher a ∨ b c ∨ d. Analog erhält man a ∨ d b ∨ c. (ii) =⇒ (i): Nach Voraussetzung und nach Korollar C liegt b auf x2 a+c=b+d d c a b x1 0 Abb. 10: Parallelogramm-Satz a ∨ b = a(c ∨ d) = a ∨ (a + c − d) und b ∨ c = c(a ∨ d) = c ∨ (a + c − d). Da a, b, c, d nicht kollinear sind, sind auch a, b, c wegen (ii) nicht kollinear. Also gilt a ∨ b = b ∨ c. Es folgt b = (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) = (a ∨ (a + c − d)) ∧ (c ∨ (a + c − d)) = a + c − d.

16: Parallelogramm-Gesetz Lemma. Ist (X; · ) eine normierte Gruppe mit Parallelogramm-Gesetz und definiert man die symmetrische Abbildung (1) σ : X × X −→ lR , σ(x, y) := 14 ( x + y − x − y 2 ) für x, y ∈ X, 2 dann gelten die folgenden Beziehungen für x, y, z ∈ X: (2) σ(x + y, z) = σ(x, z) + σ(y, z), (3) σ(x, x) = x 2 , (4) σ(mx, ny) = mn · σ(x, y) für m, n ∈ Z. Beweis. 2) symmetrisch und erfüllt σ(0, y) = 0 für alle y ∈ lP. Ersetzt man im Parallelogramm-Gesetz x durch z ± y und y durch x ± y, so folgt x + z + 2y 2 + z−x 2 =2 z+y 2 +2 x+y 2 und x + z − 2y 2 + z−x 2 =2 z−y 2 +2 x−y Eine Subtraktion ergibt (∗) σ(x + z, 2y) = 2 · σ(z, y) + 2 · σ(x, y).

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