By Dr. Lothar Schrutka (auth.)
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Für ein quadratisches Polynom f(x) = o:x 2 + {Jx + y ist f"(x) = 2o:, also fest, und das angegebene Größenverhältnis trifft genau zu; hierin spiegelt sich eine bekannte Eigenschaft der Parabel wider. Schließlich soll noch die Unterteilung des Spielraums (41) behandelt werden. Die Tangententrapezformel liefert für die einzelnen Teilstücke: h) ( a+h fl(x)dx=hl a+2 + IJ a+2h JI (x) dx = a+h h I (a 3k k3 24 /"(~t) k3 - + 2) + 24 1" (~a) Addition ergibt j I (x) dx = h [1 (a + :) +I (a + 32k) + ··· +I (b - a :) J+ Nach dem Hilfssatz in 41 kann das Verbesserungsglied in ~:a/" (E) verwandelt werden.
Bestimmung eines Extrems aus drei Beobachtungen. In den Anwendungen kommt oft die Aufgabe vor, die Zeit des Eintritts eines Extrems (z. B. der Kulmination eines Gestirns) festzustellen. Will oder kann man nicht unausgesetzt beobachten, so kann man in der Nähe der vermuteten Zeit drei Messungen machen. Zu den Zeiten t1, t2 , t3 habe die beobachtete Größe die Werte u 1, u 2, u3 • Nun kann man u quadratisch interpolieren. I Von diesem Polynom ist nun die Ableitung zu bilden und gleich Null zu setzen (der Nenner kann dabei außer Betracht bleiben) u1 11 I u 2 12 I u3 fai u1 ti I u1 tl 1 u1 11I • 2t - =0.
K" vorkommt. Was die Zähler betrifft, so ist jeder aus den links von ihm eine halbe Zeile höher und eine halbe Zeile tiefer stehenden durch Subtraktion gebildet. Man spricht von Differenzenbildung und nennt B-A, 0-B, D-0, ... die Differenzen oder genauer die ersten Differenzen (in ihrer Gesamtheit die erste Differenzenreihe) der Aufeinanderfolge (oder Reihe) A, B, 0, D, . . Ebenso sind 0-B-B-A, D-0-0-B, ... die Differenzen der Differenzen B-A, 0-B, D'-0, ... oder die zweiten Differenzen oder Differenzen zweiter Ordnung von A, B, 0, D, ..
