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By Prof. Dr. Otto Greuel, Dr. rer. nat. habil. Horst Kadner (auth.)

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Wird der Weg It in mathematisch positivem Sinn durchlaufen, so schreibt man auch einfach fez) dz. :P (01: . 1: Berechnen Sie 'j'/(z) dz fiir/(z) = -;und [: Kreis um Nullpunkt mit Radius e > O. It Losung: Q:: z(/) = e eit , 0 ~ 1 ~ 2n-. £(/) = j Q eit . -dt = j lt "0 dt = 2n-j. 0 Die nachstehend aufgefiihrten vier Satze konnen mit vorausgesetzter Stetigkeit von fez) langs des Weges a: aus der Definition des bestimmten Integrals hergeleitet werden. 1 von b nach a fiihrenden Weg -Q; (It wird in umgekehrter Richtung durchlaufen), so iindert sich das Vorzeichen des Integrals: f fez) dz = (01: - f fez) dz.

23) = 2y - x. y2 + tp(x). 24) erhalten wir 2y - x x2 = 2y + tp'(x) => tp(x) = - - + C (C = const). 25) ergibt v(x,y) = 2xy + ty2 - tx 2 + c. Weiter folgt J(z) = U + j v = x 2 - y2 + xy + Ht(y2 - x 2) + 2xy + C). (y2 - • 2 2 2 ~Z2 = ~(2 x 2) + 2xy) = x 2 _ y2 + j. 2xy _ ! (~V , ~V) x y =1= + j. 2xy). - j). 16) au av grad u . grad v = ax ox +( - aV) au ax ax = 0, d. , fUr beliebige Konstanten C1, C 2 schneiden sich die Kurvenscharen u(x, y) = C 1 und v(x, y) = C2 rechtwinklig; sie bilden ein Orthogonalsystem.

Funktionen einer komplexen Veriinderlichen Aus der Periodizitat von ez und e-:r folgt, daB auch cosh z und sinh z periodische Funktionen mit der komplexen Periode 27t j sind. Es gilt also flir ganzzahliges k + k' 27tj), sinh z = sinh (z + k • 27tj). 70) ergibt sich fur z = j y: coshj y = t (eJ, + e- J,). 80) coshjy = cosy. 81) cothjy == -j coty. 76) bzw. 84) sinh (x ± j y) = sinh x cos y ± j cosh x sin y. 85) = cosh x cos y Fur die hyperbolische Tangensfunktion folgt sinh 2x h( +. ) tan x - J y == cosh 2x + cos 2y .

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